Question

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点.

  （Ⅰ）求证：平面；

  （Ⅱ）求二面角的大小；

  （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

Answer

证明：（Ⅰ）取的中点，连接.

在△中，是的中点，是的中点，所以，

   又因为，

  所以且.

所以四边形为平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，

 故平面.                                      …………… 4分

解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.            ……………1分                                             

由已知可得

（Ⅰ），  .       ……………2分

设平面的一个法向量是.

  由得  

令，则.                                ……………3分

又因为，

  所以，又平面，所以平面.       ……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.

    因为平面，所以.

        又因为，所以平面.

     故是平面的一个法向量.

      所以，又二面角为锐角，

      故二面角的大小为.                            ……………10分

 （Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为.

      不妨设（），则.

   所以，

   由题意得，

    化简得，

         解得.

        所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.…………14分

【解析】略