Question

已知各项均为非负整数的数列 ，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列．设，．

  （Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；

  （Ⅱ）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；

  （Ⅲ）若数列，经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数．

Answer

【解析】
（Ⅰ）若，则；； ；

       ； ．

若，则 ； ； ； ．                                                 ………4分

（Ⅱ）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：．

易知和是互逆变换．                                         ………5分

对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得

 ，

则必有（若，则还可作变换）．反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件．

下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形．

假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，

若，则由变换的定义，不能变为；

若，则，经过一次变换，有

由于，可知（至少3个1）不可能变为．

所以，同理令，

，

则，所以，．

因为，

，

故由归纳假设，有，．

再由与互逆，有

，

，

所以，，从而唯一性得证．                   ………9分

（Ⅲ）显然，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为．由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，，

所以为整数，于是，，

所以为除以后所得的余数，即．………13分

【解析】略