Question

在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.

（ⅰ）证明：;

（ⅱ）求四边形的面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）【解析】
设椭圆的标准方程为.

      因为，，

所以.

所以 .                   ………………………………………2分

所以 椭圆的标准方程为.     ………………………………………3分

（Ⅱ）设，，，.

（ⅰ）证明：由消去得：.

则，

                     ………………………………………5分

所以

        .

同理 .   ………………………………………7分

因为 ,

所以 .

因为 ，

所以 .                       ………………………………………9分

（ⅱ）【解析】
由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .

因为 ，

所以 .                     ………………………………………10分

所以

.

（或）

所以 当时， 四边形的面积取得最大值为.

                                     ………………………………………13分

【解析】略