Question

如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）若，求证：；

（Ⅲ）求四面体体积的最大值．

Answer

（Ⅰ）证明：因为四边形，都是矩形，

      所以 ∥∥，．

      所以 四边形是平行四边形，……………2分

      所以 ∥，             ………………3分

      因为 平面，

所以 ∥平面．        ………………4分

（Ⅱ）证明：连接，设．

因为平面平面，且，     

所以 平面，                  ……5分

所以 ．                            …………6分               

又 ， 所以四边形为正方形，所以 ．   ………………7分                                       

所以 平面，                            ………………8分

所以 ．                          ………………9分

（Ⅲ）【解析】
设，则，其中．

由（Ⅰ）得平面，

所以四面体的体积为．   ………11分

所以 ．                ……………13分

当且仅当，即时，四面体的体积最大．  ………………14分

【解析】略