Question

对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．

（Ⅰ）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（Ⅱ）设，．若，且的各项之和为．

（ⅰ）求，；

（ⅱ）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）【解析】
数列不能结束，各数列依次为；；；；；…．

以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．             ………3分

（Ⅱ）【解析】
（ⅰ）因为的各项之和为，且， 所以为的最大项，

    所以最大，即，或．  …………5分

      当时，可得

      由，得，即，故．…7分

      当时，同理可得 ，．     ………8分         

（ⅱ）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；；；；；．

由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．

因为，

所以，数列经过次“变换”后得到的数列为．

接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；；；；；

；，……

从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．

所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．

                                           ……………13分

方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”．

若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序) ．

所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．

因此，数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列．

通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．

所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．

                                          ……………13分

【解析】略