Question

如图，四边形与均为菱形， ，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．

因为 四边形为菱形，所以，

且为中点．                ………………1分

又 ，所以 ．  ………3分

因为 ，

所以 平面．  ………………4分   

（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，

所以//，//，

所以 平面//平面．                 ………………7分                                         又平面，

所以// 平面．                    ……………8分                        

（Ⅲ）【解析】
因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．

因为为中点，所以，故平面．

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ………………9分                                   

设．因为四边形为菱形，，则，所以，

．

所以 ．           

所以 ，．              

设平面的法向量为，则有

所以   取，得． ………………12分           

易知平面的法向量为．      ………………13分               

由二面角是锐角，得 ．      

所以二面角的余弦值为．       ……………14分

【解析】略