Question

如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面，试求的值；

（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

Answer

法1：（Ⅰ）连结，

∵平面，平面，∴，

又∵，，

∴平面，

又∵，分别是、的中点，∴，

∴平面，又平面，

∴平面平面；

（Ⅱ）连结，

∵平面，平面平面，

∴，

∴，故 

（Ⅲ）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，点为的中点，∴，

∴为所求二面角的平面角，

∵点是的中点，∴，

所以在矩形中，可求得，，，

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值为．

法2：（Ⅰ）同法1；

（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，

∴，，

设点的坐标为，平面的法向量为，则，

所以，即，令，则，，

故，

∵平面，∴，即，解得，

故，即点为线段上靠近的四等分点；故     

（Ⅲ），则，

设平面的法向量为，

则，即，令，

则，，即，

当是中点时，，则，

∴，

∴二面角的余弦值为．

【解析】略