Question

如图，在四棱锥中，底面，，  ，    ，是的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值

Answer

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．，平面．

而平面，．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．由（Ⅰ）知，，且，所以平面．而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．………………………………（8分）

（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，得．设，

可得．

在中，，，

则．

在中，．所以二面角的正切值为．

【解析】(I)证明：即可.

(II)分别证明：即可.

(III)可以利用空间向量的知识直接求，也可以直接根据三垂线定理作出二面角的平面角解三角形即可