Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，求在区间上的最大值；

（III）设函数，（），试讨论函数与图象交点的个数

Answer

（Ⅰ）∵，其定义域为．                 1分

∴．                   （2分）

∵，∴当时，；当时，．

故函数的单调递增区间是；单调递减区间是．         （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数的单调递增区间是；单调递减区间是．

当时，在区间上单调递增，的最大值；

当时，在区间上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，也即该函数在上的最大值，此时的最大值；

∴在区间上的最大值…………………（8分）

（Ⅲ）讨论函数与图象交点的个数，即讨论方程在上根的个数．

该方程为，即．

只需讨论方程在上根的个数， ……………………（9分）

令，．

因，，令，得，

当时,；当时,．  ∴，

当时,； 当时,， 但此时，且以轴为渐近线．

如图构造的图象，并作出函数的图象．

①当即时，方程无根，没有公共点；

②当即时，方程只有一个根，有一个公共点；

③当即时，方程有两个根，有两个公共点．

【解析】(I)直接求导，根据导数大于零和小于零，求其增减区间即可.

（II）在第（I）问的基础上对a进行讨论求极值，最值.

（III）可以构造函数,然后利用导数研究其图像特征，作出草图，然后数形结合求解.