Question

己知椭圆C:.的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y + 2 = 0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点.

(I)求椭圆的标准方程;

(II) M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，

并说明轨迹是什么曲线.

Answer

（Ⅰ）由题意可设圆的方程为，     …………1分

∵直线与圆相切，∴，即，      …………2分

又，即，，解得，， …………3分

∴   椭圆方程为． …………4分                                

（Ⅱ）设，其中．

由已知及点在椭圆上可得，

整理得，其中．……6分

①当时，化简得，               …………7分

∴点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；……8分

②当时，方程变形为，其中，     ……9分

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；…10分

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；… 11分

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．

【解析】略