Question

已知函数，.

(1)求曲线f(x)在点A处的切线方程；

(II)讨论函数f(x)的单调性;

(III)是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求 出实数a;若不存在，请说明理由

Answer

(Ⅰ)∵ a＞0，，

∴

=，               …… 2分

于是，，所以曲线y = f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为，即（a－2）x－ay + 1 = 0．                ……… 4分

(Ⅱ)∵ a＞0，eax＞0，∴ 只需讨论的符号．   ………… 5分

ⅰ）当a＞2时，＞0，这时f ′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅱ）当a = 2时，f ′（x）= 2x2e2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．…6分

ⅲ）当0＜a＜2时，令f ′（x）= 0，解得，．

当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表：

x

f '（x）

+

0

－

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴f(x)在，,为增函数,f(x)在为减函数．    …… 9分

(Ⅲ)当a∈（1，2）时，∈（0，1）．由(Ⅱ)知f（x）在上是减函数，在上是增函数，故当x∈（0，1）时，，……10分

∴当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．……11分

当a∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即a∈（1，2）时恒成立，……13分   符合条件的实数a不存在．

【解析】略