Question

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程，有实数根②函数的导数满足.

(I) 若函数为集合M中的任意一个元素，证明：方程只有一个实数根；

(II) 判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由；

(III) 设函数为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意，当,且时,证明：.

Answer

(Ⅰ) 令，则，故是单调递减函数,

所以，方程，即至多有一解，

又由题设①知方程有实数根，

所以，方程有且只有一个实数根…………………………………..4分

(Ⅱ) 易知，，满足条件②；

令，

则，…………………………………..7分

又在区间上连续，所以在上存在零点，

即方程有实数根，故满足条件①，

综上可知，……….…………………9分

(Ⅲ)不妨设，∵,∴单调递增，

∴,即，

令，则，故是单调递减函数，

∴,即，

∴，

则有

【解析】略