Question

（本小题满分14分）

从椭圆＋=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F₁,且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM.

（Ⅰ）求椭圆的离心率 ；   

（Ⅱ）若b=2，设Q是椭圆上任意一点,F₂是右焦点,求△F₁QF₂的面积的最大值；

（Ⅲ）当QF₂^AB时,延长QF₂与椭圆交于另一点P,若DF₁PQ的面积为20(Q是椭圆上的点),求此椭圆的方程。

Answer

（Ⅰ），因为，所以，所以

所以

（Ⅱ）

（Ⅲ），设椭圆方程为，与直线联立可得

.

所以，所以椭圆方程为.

【解析】(I)要结合椭圆的通径及直线平行斜率相等等知识建立关于a,b,c的方程，再结合a2=b2+c2,进而得到a与c的关系，从而求出离心率。

(II)由于b=2,由（I）知b=c,所以可把△F1QF2的面积S表示成关于Q的纵坐标的函数，然后根据纵坐标的范围在[-2,2]之间进而确定S的最大值。

(III)根据离心率，对椭圆方程进行化简变形为,然后与直线联立，消去x后借助韦达定理，求出|PQ|的值。进而通过面积建立关于b的方程，求出b的值。要注意验证判断式是否大于零。