Question

（本小题满分14分）

已知函数R,

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根， 求的值．

Answer

函数的定义域为.

     ∴.

 ① 当, 即时, 得,则.

  ∴函数在上单调递增.                                       ……2分

 ② 当, 即时, 令  得,

解得.                           

(ⅰ) 若, 则.

∵, ∴,   ∴函数在上单调递增.   …… 4分

 (ⅱ)若,则时, ;

      时, ,

∴函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增.

                                                                         …… 6分

综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为;  

当时, 函数的单调递减区间为, 单调递增区间为.                                                    …… 8分

(2) 解: 令, 则.令, 得.

当时, ; 当时, .

∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.

∴当时, 函数取得最大值, 其值为.                  …… 10分

而函数,

当时, 函数取得最小值, 其值为.               …… 12分

∴ 当, 即时, 方程只有一个根.…… 14分

【解析】略