Question

在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点  ,且.

（Ⅰ）求直线与交点的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知点()是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率满足，试探究直线的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.

Answer

（Ⅰ）依题意知直线的方程为：      ①……………2分

直线的方程为：        ②…………………3分

设是直线与交点，①×②得

由 整理得             …………………4分

∵不与原点重合 ∴点不在轨迹M上…………………5分

∴轨迹M的方程为（）…………………6分

（Ⅱ）∵点()在轨迹M上 ∴解得，即点A的坐标为

设，则直线AE方程为：，代入并整理得

…………………9分

 设,,   ∵点在轨迹M上，

∴    ③,       ④………………11分

又得，将③、④式中的代换成，可得

，…………………………12分

∴直线EF的斜率…………………13分

∵

∴

即直线EF的斜率为定值，其值为 

【解析】（Ⅰ）写出直线方程，消去参数；（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，根据，求得。