Question

(本小题满分15分)已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；

(3)对(2)中的φ(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1

Answer

【解析】
(1)f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，

∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k＝f′(e2)＝，

∴切线的方程为y－e＝ (x－e2)．

(2)由条件知h(x)＝－alnx(x>0)，

∴h′(x)＝－＝，

①当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2

∴当04a2时，h′(x)>0， h(x)在(4a2，＋∞)上单调递增．

∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．

∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln (4a2)＝2a[1－ln (2a)]．

【解析】略