Question

(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x³＋x²－2.

(1)设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁＝3.若点(a_n，a_n＋1²－2a_n＋1)(n∈N^*)在函数y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，S_n)也在y＝f′(x)的图象上；

(2)求函数f(x)在区间(a－1，a)内的极值．

Answer

解析：

(1)证明：因为f(x)＝x3＋x2－2，

所以f′(x)＝x2＋2x，

由点(an，an＋12－2an＋1)(n∈N*)在函数y＝f′(x)的图象上，得an＋12－2an＋1＝an2＋2an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.

又an>0(n∈N*)，所以an＋1－an＝2.

又因为a1＝3，

所以数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列，

所以Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.

又因为f′(n)＝n2＋2n，所以Sn＝f′(n)，

故点(n，Sn)也在函数y＝f′(x)的图象上．

(2)f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，

由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，－2)

－2

(－2,0)

0

(0，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大值



极小值



注意到|(a－1)－a|＝1<2，从而

①当a－1<－2