Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.

⑴求证：平面ABM⊥平面PCD；

⑵求直线PC与平面ABM所成角的正切值；

⑶求点O到平面ABM的距离.

Answer

见解析

【解析】(I)证明：即可.

（2）找出线面角是解题的关键，而找线面角的关键是平面ABM的垂线.取PC的中点N，易证：,所以∠PNM 就是PC与平面ABM所成角..

（3）点O到平面ABM的距离是点C到平面ABM的距离的一半，然后转化为求点C到平面ABM的距离即可，而点C到平面ABM的距离等于点P到平面ABM的距离，所以所求的距离等于PM的长度的一半.

证明：（1）证明：

        平面ABM⊥平面PCD

（2）平面ABM交PC于点N，则MN//CP

     由（1）知PC与平面ABM所成角即为∠PNM=

则

   （3）点O到平面ABM的距离即为点D到平面ABM的距离的一半

        由上述知.