Question

如图,直角梯形ABMN中,∠NAB=90°，AN∥BM,AB=2,AN=,BM=,椭圆C以A,B为焦点且过点N.

（1）建立适当的坐标系,求椭圆C方程;

(2)若点E满足,问是否存在不平行AB的直线L与椭圆C交于P,Q两点,且|PE|=|QE|,若存在,求出直线L与AB夹角的范围;若不存在,说明理由?

Answer

（1）

（2）存在            L与AB的夹角范围为(0,

【解析】(1) 先建立直角坐标系，设所求椭圆方程为,根据AB=2,AN=,BM=，得A(-1,0), B(1,0), N(-1,),代入椭圆方程可求得；(2) 设L:y=kx+m (k≠0),与椭圆方程联立，求得PQ的中点坐标用k，m表示，由PQ⊥EFm=,由Δ>0可得4k2+3≥m2。

解:(1)以AB所在直线为x轴,AB中点O为原点建立如图所示的坐标系,

A(-1,0), B(1,0), N(-1,),

设所求椭圆方程为, …………………2分

把N点坐标代入椭圆方程,可得:,,

解得,

故所求椭圆方程为:

(2)设E(x,y),M(1,)∵∴E(0,1)

显然L:x=0不满足

设L:y=kx+m (k≠0),与椭圆方程

联立可得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0

由Δ>0可得4k2+3≥m2, ……………………9分

设PQ的中点为F(x0,y0),P(x1,y1)

Q(x2,y2),则2x0=,2y0=

由PQ⊥EFm=,

∴≥,

∴0