Question

已知函数,且当及时取得极值。   

（1）求函数的解析式；

（2）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ).(Ⅱ)0≤m<

【解析】(1)由题意知x=1,x=2就是方程的两个根，然后利用根与系数的关系可建立关于a,b的方程，解出a,b的值，进而确定f(x)的解析式。

（2）本小题转化为即在[-2,0]上有两个不同的实数根，然后构造函数利用导数研究其极值，最值画出草图，数形结合不难解决。

 【解析】
(Ⅰ)=3ax2+2bx -1，……………………………………………………………(1分)

依题意，==0，即

解得a=，b=，经检验a=，b=符合题意.

∴.…………………………………………(5分)

(Ⅱ)曲线y=f(x)与=有两个不同的交点，

即在[-2，0]有两个不同的实数解.

设 = ，则，

由，得x= 4或x= -1，

∵x∈[-2，0]，∴当x(-2,-1)时，，于是φ(x)在[-2,-1]上递增；

当x(-1,0)时，，于是φ(x)在[-1,0]上递减.………(9分)

依题意有………………(11分)

解得0≤m<……… (12分)