Question

在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）。

（1）写出此数列的前5项；       （2）归纳猜想的通项公式，并加以证明。

Answer

（1）数列的前5项是：，．（2）见解析.

【解析】(1)本小题根据题意可得，分别令n=2,3,4,5不难求解。

(2)由(1)中的前5项，不难归纳出,然后再采用数学归纳法进行证明。

要分两个步骤来进行：第一步验证：当n=1时，式子成立；

第二步：先假设n=k时，等式成立，再证明n=k+1时，等式也成立，在证明过程中必须要用上归纳假设。

（1）由已知，，分别取，

得，，

，

，

所以数列的前5项是：，．-----------4分

（2）由（1）中的分析可以猜想．————————————6分

下面用数学归纳法证明：

①当时，公式显然成立．

②假设当时成立，即，那么由已知，

得，

即，

所以，即，

又由归纳假设，得，

所以，即当时，公式也成立．—————————10分

由①和②知，对一切，都有成立．------------------12分