Question

设，函数.

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）若时，不等式恒成立，实数的取值范围.

Answer

（1）当时，单调增区间为.（2）.                                       

【解析】(1)先去绝对值转化为分段函数，，然后利用导数分段研究单调区间.

（2）先去约对值，分两类进行研究当时，;当时，，然后利用导数分别转化为不等式恒成立问题进行研究，最后求得的参数a的范围求交集即可.

（1）当时，

              …………（2分）

当时，，在内单调递增；

当时，恒成立，故在内单调递增；

的单调增区间为.                              …………（5分）

（2）①当时，，

，恒成立，在上增函数.

故当时，.                             …………（6分）

②当时，，

（Ⅰ）当，即时，在时为正数，所以在区间上为增函数.故当时，，且此时           …………（7分）          

（Ⅱ）当，即时，在时为负数，在时为正数，所以在区间上为减函数，在上为增函数.故当时，，且此时.                        …………（8分）

（Ⅲ）当，即时，在时为负数，所以在区间上为减函数，故当时，.                      

所以函数的最小值为.…………（9分）

由条件得此时；或，此时；或，此时无解.

综上，.                                            …………（12分）