Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：

 (1)PA∥平面BDE；

(2)平面PAC⊥平面BDE．

Answer

（见解析）

【解析】(1）利用线面平行的判定定理；（2）线面垂直推出线线垂直，从而推出面面垂直.

 证明：(1)连结OE．

∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴PA∥OE.

又∵PA平面BDE，OE⊂平面BDE，

∴PA∥平面BDE．                                                   (5分)

(2)∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.

又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，

∴BD⊥平面PAC．而BD⊂平面BDE，

∴平面PAC⊥平面BDE．                                            (10分)