Question

已知函数，.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若函数与在区间上均为增函数，求的取值范围；

（3）若方程有唯一解，试求实数的值.

Answer

（1）    （2）实数的值为

【解析】(1)先对求导，然后求出x=1的导数，可写出直线的点斜式方程化成一般式方程即可.

（2）本题转化为在区间上同时恒成立问题解决即可。

(3) 本题的解题思路原方程等价于，令，则原方程即为。因为当时原方程有唯一解，所以函数与的图像在轴右侧有唯一的交点.然后利用导数研究h(x)的图像从图像上观察y=m与y=h(x)何时有一个公共点即可。

【解析】
（1）因为，所以切线的斜率.又知，则代入点斜式方程有.即.        ------------3分

（2）因为，又（定义域），

所以当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减；

又，所以在上单调递增，在上单调递减，

欲使函数与在区间上均为增函数，

则，解之得. ------------8分

（3）原方程等价于，令，则原方程即为。

因为当时原方程有唯一解，所以函数与的图像在轴右侧有唯一的交点    --9分

又，且，所以当时，，当时，

即在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最小值，从而当时原方程有唯一解的充要条件是，

所以实数的值为.