Question

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，⊥底面.

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值。

Answer

（1）见解析.（2）.

【解析】本试题主要考查了立体几何中的面面垂直和线面角的求解运用。第一问中，利用∴平面得到平面平面；第二问中，

由（1）所证，平面 

所以∠即为二面角P-BC-D的平面角，即∠

然后分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为利用斜线与法向量的夹角来求解。

 (1)证明：∵       ∴

       又∵⊥底面       ∴

      又∵           ∴平面

       而平面

   ∴平面平面              

（2）由（1）所证，平面 

所以∠即为二面角P-BC-D的平面角，即∠

而，所以                

分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。

 则，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则   

即  可解得

∴与平面所成角的正弦值为