Question

已知函数，，，其中且.

（I）求函数的导函数的最小值；

（II）当时，求函数的单调区间及极值；

（III）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围.

Answer

（I）

（II）的单调增区间是，；单调减区间是.

函数在处取得极大值，在处取得极小值

（III）

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

【答案】

【解析】
（I），其中.

  因为，所以，又，所以，

  当且仅当时取等号，其最小值为. ……………………………4分

 （II）当时，，.

                          ………………………………………………………..6分

  的变化如下表：

0

0

所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是.

函数在处取得极大值，在处取得极小值.

（III）由题意，.

不妨设，则由得.  ……………12分

令，则函数在单调递增.

在恒成立.

即在恒成立.

因为，因此，只需.

解得. 

故所求实数的取值范围为