Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，， 

（1）证明平面；

（2）求异面直线与所成的角的正切值；

（3）求二面角的正切值．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直问题的运用，以及异面直线所成的角的求解，和二面角的求解的综合运用。

（1）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（2）【解析】
由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以异面直线与所成的角的正切值为．

（3）【解析】
过点作于，过点作于，连结．

因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．

由题设可得，，，

，，．

于是在中，．

所以二面角的正切值为