Question

在△中，已知 、，动点满足.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设，，过点作直线垂直于，且与直线交于点，试在轴上确定一点，使得；

（3）在（II）的条件下，设点关于轴的对称点为，求的值.

Answer

（1）；（2）（4,0）；（3）4.

【解析】本试题考查了双曲线的定义的运用，求解轨迹方程，以及直线与双曲线的位置关系的综合运用，结合数量积公式表示定值。

【解析】
（I），∴ 动点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点.  …………………1分  

设双曲线方程为.

由已知，得  解得       ∴.                                                     ∴动点的轨迹方程为.                   

注：未去处点（2，0），扣1分

（I）        由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程x =2.

设的方程为.                             5分

     ∵点是与直线的交点，∴.设

     由  整理得             

  则此方程必有两个不等实根

，且.                                              

      ∴  ∴.             

      设，要使得，只需

      由，，

∴  

∵此时∴所求的坐标为      

  （III）由（II）知，∴，.

  ∴.

∴