Question

已知函数 (＞0)的图象在点处的切线方程为.

(1)用表示；

(2)若在上恒成立，求的取值范围；

(3)证明：1+++…+＞+.

Answer

（Ⅰ）   （II）     (Ⅲ)见解析

【解析】（1）求函数导数得，根据导数的几何意义得就可得到用表示的式子；（2）若在上恒成立，即在上恒成立。构造函数，利用，再讨论的取值范围研究的单调性使的最小值大于等于0可得的取值范围；

（3）由（2）知当时,有,  () 若,有。结合要证的结论，令，。分别把的值代入，得到个不等式依次相加得整理即得结论。本题是与自然数有关的问题也可用数学归纳法证明

（Ⅰ） ，则有，解得…3分

（II）由（Ⅰ）知，

令，

则，……4分

(ⅰ)当时,,

若,则,单调递减，所以即,

故在上不恒成立. …………6分

(ⅱ) 当时,,

若,则,是增函数,所以

即,故当时,. …………8分

综上所述,所求的取值范围为…………9分

(Ⅲ)解法一:

由(Ⅱ)知,当时,有,  ()

令,有且当时, ……10分

令,有

即, …………12分

将上述个不等式依次相加得

整理得…………14分

解法二: 用数学归纳法证明

(1) 当时,左边,右边, 不等式成立. …………10分

(2) 假设时, 不等式成立, 就是

那么

由(Ⅱ)知,当时,有,  ()

令,有,  ()

令,有

所以

即

这就是说，当时, 不等式也成立。…………13分

根据(1)和(2)，可知不等式对任何都成立。