Question

设函数其中，

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明不等式：.

（3）求证：ln(n+1)> +++L（）．

Answer

（1）函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是.

（2）略     （3）略

【解析】本试题主要是考查了单调性的运用，以及运用构造函数的思想，证明不等式的问题。

【解析】
由已知得函数的定义域为，

又   ———2分

由解得                                                     

当变化时， 的变化情况如下表：

0

+

单调递减

极小值

单调递增

由上表可知，当时，函数在内单调递减；当时，函数在内单调递增。所以，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是.   ———4分                                   

（2）

对求导，得：      ——6分

当时，所以在内是增函数，又因为在上连续，所以 在内是增函数

当时，即   —8分

同理可证      ——10分

(3)由, ln(+1)>,L，ln(1+1)> ——12分

所以ln(+1)+ln(+1)+L+ln(1+1)> ++L+

所以ln(n+1)> +++L（）