Question

如图，在某城市中，Ｍ，Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网，、、、是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处，今在道路网Ｍ、Ｎ处的甲、乙两人分别要到Ｎ、Ｍ处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向Ｎ，Ｍ处行走，直到到达Ｎ，Ｍ为止.

（Ⅰ）求甲经过的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人相遇经点的概率；

（Ⅲ）求甲、乙两人相遇的概率.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】(1)甲经过到达Ｎ，可分为两步：第一步：甲从Ｍ经过的方法数：种；第二步：甲从到Ｎ的方法数：种；所以：甲经过的方法数为；

所以：甲经过的概率

(2) 甲经过的方法数为：；乙经过的方法数也为：；所以甲、乙两人相遇经点的方法数为： ＝81； 甲、乙两人相遇经点的概率

(3) 甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法.

（Ⅰ）甲经过到达Ｎ，可分为两步：第一步：甲从Ｍ经过的方法数：种；第二步：甲从到Ｎ的方法数：种；所以：甲经过的方法数为；

所以：甲经过的概率

（Ⅱ）由（１）知：甲经过的方法数为：；乙经过的方法数也为：；所以甲、乙两人相遇经点的方法数为： ＝81； 甲、乙两人相遇经点的概率

（Ⅲ）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；所以：＝164

甲、乙两人相遇的概率