Question

已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．

（1）若，试求点的坐标；

（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；

（3）求弦长的最小值．

Answer

（1）或；（2）见解析；（3）.

【解析】（1）根据，求得；（2）求出圆的方程，此式是关于的恒等式，列条件；（3）表示出弦长，求最值。

【解析】
（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或．                       ．．．．．．．．4分     

（2）设，的中点，因为是圆的切线

所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，

故其方程为：               ．．．．．．．．6分

化简得：，此式是关于的恒等式，

故解得或                          

所以经过三点的圆必过定点或.                  ．．．．．．．．10分

（3）设，且与交于点，则

   当时，最小值为 ．．．16分

（几何方法酌情给分）