Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）当时，求函数的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值. （精确到1辆/小时）.

Answer

（1）v(x)=； 

当x=100时，f(x)在区间[0, 200]上的最大值为≈3333，

【解析】（1）当当设由解得.写出时，函数的表达式；是一个分段函数；

（2）在（1）的条件下，求出f(x)=，分段求出函数f(x)的最大值，比较得最大值和对应的x的值.

（1）由题意：当0≤x≤20时，v(x)=60；……………………2分

当20≤x≤200时，v(x)= a x + b；

再由已知得：，解得，……………………6分

故函数v(x)的解析式为

v(x)=；         …………………8分

（2）依题意并由（1）可得：

f(x)=，    ………………10分

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200；

当20≤x≤200时，f(x)=，……………12分

当且仅当，即x=100时，等号成立.因为，……………14分

所以，当x=100时，f(x)在区间[0, 200]上的最大值为≈3333，

答：当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.