Question

如图1，在y轴的正半轴上依次有点A₁,A₂,…,A_n,…，A₁,A₂的坐标分别为(0,1),(0,10)，且(n=2,3,4,…). 在射线y=x(x≥0)上依次有点B₁,B₂,…,B_n,…，点B₁的坐标为(3,3)，且(n=2,3,4,…).

 (1)用含n的式子表示；

 (2)用含n 的式子分别表示点A_n、B_n的坐标；

 (3)求四边形面积的最大值.

Answer

（1）∴  =     

（2）∴点An的坐标，∴Bn的坐标为（2n+1，2n+1）   

3）∴ Sn的最大值为．     

【解析】（1）由，(n=2,3,4,…)， 知(n=2,3,4,…)，组成以9为首项，3为公比的等比数列，所以=；

（2）因为，由（1）和在y轴的正半轴上依次有点A1,A2,…,An,…，得，

即点An的坐标；由，

得{|OBn|}是以为首项，为公差的等差数列；利用等差数列的通项公式得

，即得Bn的坐标；（3）把四边形面积分成两个三角形的面积的差，根据三角形的面积公式和（2）可求得，研究数列的单调性得到最大值.

（1）∵，

∴  =            ……………………………………4分

（2）由（1）得

∴点An的坐标， ……………………………………6分

∵，

∵{|OBn|}是以为首项，为公差的等差数列

∴

∴Bn的坐标为（2n+1，2n+1）     ……………………………………10分

（3）连接An+1Bn+1，设四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积为Sn，

∴ ，即Sn+1＜Sn，

∴ {Sn} 单调递减数列 

∴ Sn的最大值为．