Question

已知二次函数满足条件：

①；②的最小值为。

（1）求函数的解析式；

（2）设数列的前项积为，且，求数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若是与的等差中项，试问数列中第几项的值最小？求出这个最小值。

Answer

(Ⅰ) .  (Ⅱ) .   

(3) 即数列中最小, 且. 

【解析】题考查了二次函数的解析式的求解，以及数列的递推关系，数列的求和问题，属于中档题，同时也考查了学生的计算能力．

（1）函数的待定系数法，以及函数在处取得最值的方法，求得待定系数，确定函数解析式；（2）类比之间的关系，，数列的前项积为则，从而求解；

（3）需判断的单调性，考察分类讨论思想。

解: (Ⅰ)题知:  , 解得 ,

故.        ……3分

(Ⅱ) ,  ,

,   又满足上式.   所以.

 (3) 若是与的等差中项, 则, 

从而,    得.     ……9分

因为是的减函数, 所以

当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;

当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为.   ……13分

又, 所以,

即数列中最小, 且.