Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．

(Ⅰ) 求直线AD与平面PBC的距离；

(Ⅱ) 若AD＝，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．

Answer

（1）

（2）

【解析】（1）用传统方法求距离,先要作出表示距离的线段,然后归结为解三角形问题;（2）求二面角时，要掌握“一作二证三求解”的步骤（或者用向量法也行）

（I）在矩形ABCD中，AD//BC，从而AD//平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离.因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA=AB知为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB

又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.

在中，PA=AB=，所以

（II）过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则为所求的二面角的平面角.由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，得AD⊥平面PAB，

故AD⊥AE，从而

在中，为等边三角形，故F为CE的中点，且

因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知，从而且G点为AC的中点.连接DG，则在

所以