Question

已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为

（A）  （B）  （C）    （D）1

Answer

C

【解析】【解析】
设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，

所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2 3

又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 3 则：SA=SB，AC=BC

因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD2= SA2-AD2 = 12-3、 4  =45/4

在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD2= AC2-AD2 = 4-3/ 4  = 13 / 4

又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S-ABC的体积：V=1/ 3 AB•S△SCD，

因为：SD= ，CD= ，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2-SC2）/2SD•CD =（45 /4 +13 /4 -16）/2×  ×   =- 

则：sin∠SDC= 1-cos2∠SDC = 

由三角形面积公式得△SCD的面积S=1/ 2 SD•CD•sin∠SDC=1/ 2 × × × =3

所以：棱锥S-ABC的体积：V=1/3 AB•S△SCD=1 /3 × 3 ×3= 3

故选C