Question

如图，在三棱锥中，底面，

点，分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】本试题主要是考查了线面垂直的证明以及二面角的求解的运用。

【解析】
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，BC⊂面ABC∴PA⊥BC．

又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．

∵PA与AC相交∴BC⊥平面PAC．

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=1/ 2 BC，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，

∴AD= AB，

∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，

∴BC=1/ 2 AB，

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=DE/ AD =BC /2AD = ，

．AD与平面PAC所成的角的余弦值为 ；