Question

已知函数f(x)＝x³－3ax²－9a²x＋a³.

(1)设a＝1，求函数f(x)的极值；

(2)若a>，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．

Answer

（1）f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.；（2）(，]．

【解析】(1)利用导数利用确定极值即可。

(2)解本题的关键是|f′(x)|≤12a转化为恒成立，.然后解不等式组求解即可。

【解析】
(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，解得

x1＝－1，x2＝3.

列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况：

x

(－∞，－1)

－1

(－1,3)

3

(3，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大

值6



极小

值－26



所以，f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.                  5分

(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，

关于x＝a对称．   若1，则 ∵|f′(a)|＝12a2>12a.

故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立．

所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(，]．         14分