Question

已知函数

（I）求函数的单调区间；     （II）若关于的不等式对一切都成立，求实数的取值范围.

Answer

（I）的单调增区间为和；单调减区间为和．

（II）当时，；当时，.

【解析】求函数的单调区间时，一定注意函数的定义域，尤其对于对数函数；

对于恒成立求参数问题，通常分离参数，然后只要求在最值处成立即可，关于的不等式对一切都成立，然后分析函数的最值时利用导数求出单调区间。

【解析】
（I），当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.又函数为奇函数，所以在上单调递增，在上单调递减.

∴的单调增区间为和；单调减区间为和．

（II）不等式对一切都成立，即对一切都成立

由（I）知在上单调递增，在上单调递减，所以，

当，即时，在 上单调递增，；

当，即时，在 上单调递减，；

当，即时，在 上单调递增，在 上单调递减，

 .下面比较的大小：

，∴当时，，当时，

综上得：当时，；当时，．

故当时，；当时，.