Question

已知函数，，

（I）设函数，讨论的极值点的个数；

（II）若，求证：对任意的，且时，都有

Answer

（I）的极值点个数为个；（II）见解析.

【解析】

（1）讨论的极值点的个数，需求；然后令导数为0，讨论零点左右的导数值的正负；

（2）整理

转化为讨论在上单调性，再次利用导数判断。

【解析】
（I），，，，得

当时，，从而在上单调递减，当时，，从而在上单调递增，所以，

当，即时，恒成立，的极值点个数为；

当，即时，（又）

的极值点个数为个

（II）证明：

在上单调递增

在上恒成立

令，关于是一次函数。

又，，(由得)

所以在上恒成立，所以，原命题成立。