Question

若a,b,c均为实数，且，，，

试用反证法证明：a，b，c中至少有一个大于0.

Answer

见解析.

【解析】利用反证法证明时，先否定结论，然后利用否定后的结论，结合已知的公理或者定理产生矛盾，说明假设不成立，原命题成立。设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝（x2－2y＋）＋（y2－2z＋）＋（z2－2x＋）

∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾。

 (反证法)证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，

而a＋b＋c＝（x2－2y＋）＋（y2－2z＋）＋（z2－2x＋）

＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3，

∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.