Question

已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．

（1）若在区间上的最大值为－3，求的值；

（2）当时，试推断方程是否有实数解．

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】第一问中利用导数的思想求解极值，然后利用端点值和极值比较大小，得到最值。

第二问中，利用由（1）知当时，，所以

又令，，令，得

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

∴，即

因此得到结论。

【解析】
（1）………1分

①若，则，从而在上是增函数，

∴，不合题意………2分

②若，则由，即，

由，即

从而在上是增函数，在为减函数

∴，得，即满足意题……3分

（2）由（1）知当时，，所以………1分

又令，，令，得

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

∴，∴，………4分

∴，即

∴方程没有实数解．………1分