Question

已知函数.

（I）当时取得极小值，求、的值；

（II）当时，若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数 的取值范围.

Answer

（1）；（2）（）

【解析】（I）根据,可建立关于a,b的两个方程，解方程组即可求出a,b的值.

（II）若在区间存在一点，使得成立，转化为在区间上的最小值小于0即可,然后利用导数求其最小值即可.

【解析】
（I）求导数，得                      ……………2分

                               ①

         ②

由①②，解得                                ……………4分

此时

当时，；当时

当时取得极小值

故符合题目条件                   …………………………………5分

（II）当时，，

若在区间存在一点，使得成立，只需在

区间上的最小值小于0即可.      ………………………………7分

（1）当时，.函数在上单调递减，

，符合题意     ……………………9分

（2）当时，令，得

①若，即，则

（0，）

（，）

－

0

+

↘

极小值

↗

的极小值即最小值为

由，得，不合题意          ………………11分

②若，即，则，函数在

上单调递减

由，得

符合题意      ……………………………………13分

综上可知，实数的取值范围为（）       …………14分