Question

如图，底面是矩形的四棱锥P—ABCD中AB=2，BC=，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.

（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；

（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；

（3）求直线AB与平面PCD的距离．

Answer

（1）见解析

（2）45°

（3）

【解析】本试题主要是考查了立体几何中，面面垂直问题，以及线面角的求解，和线面的距离的相关知识的理解和运用。侧重在判定定理和性质定理的灵活运用上。

（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB      又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB      ∴BC⊥侧面PAB     又∵BC侧面PBC    ∴侧面PAB⊥侧面PBC）       4分

  （II）【解析】
取AB中点E，连结PE、CE     又∵△PAB是等边三角形   ∴PE⊥AB 

    又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD     ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角

     在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求

   （Ⅲ）【解析】
在矩形ABCD中，AB//CD      ∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD

    取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB    又∵PE⊥AB    ∴AB⊥平面PEF   又∵AB//CD

    ∴CD⊥平面PEF   ∴平面PCD⊥平面PEF    作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD

    在Rt△PEF中，EG=为所求.