Question

一个口袋中装有大小相同的个红球（且）和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖。

（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；

（Ⅱ）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，求的最大值.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，将个白球全部取出后，对剩下的个红球全部作如下标记：记上号的有个（），其余的红球记上号，现从袋中任取一球。表示所取球的标号，求的分布列、期望和方差.

Answer

（1）；（2）n=20时，m的最大值为4/9；

（3）， .

【解析】第一问中，利用一次摸奖从n+5个球中任取两个，有种方法。它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，故一次摸奖中奖的概率为．

第二问中，

设每次摸奖中奖的概率为，三次摸奖中恰有一次中奖的概率是：

利用导数的思想求解最值。

第三问中，由（Ⅱ）知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的．故的可能取值为0，1,2,3,4求解各个概率值，然后求解期望和方差即可。

解:（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有种方法。

它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，

一次摸奖中奖的概率为．       ………5分

（Ⅱ）设每次摸奖中奖的概率为，三次摸奖中恰有一次中奖的概率是：

      ………  6分

m对p的导数

因而m在上为增函数，m在上为减函数。    ………8分

∴当p=1/3，即，n=20时，m的最大值为4/9．    ………  10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的．故的分布列是：

p

…12分

．       ………14分

．……..15分