Question

在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，

求点A到平面A1DE的距离；

求证：CF∥平面A1DE,

求二面角E－A1D－A的平面角大小的余弦值.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】利用向量法解决立体几何问题，要先建立坐标系，写出点的坐标，求出对应的向量.（1）说出建立坐标系的过程，写出需要的点的坐标，设平面A1DE的法向量是利用  可得根据点A到平面A1DE的距离是

求得.（2）要证线面平行，可证直线对应的向量与面的法向量垂直.结合（1）容易证出；（3）依题意得是面AA1D的法向量，由（1）得是平面A1DE的法向量，根据可求出二面角E－A1D－A的平面角大小的余弦值.

【解析】
（1）分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2,0,0）, A1（2,0,2）,E(1,2,0),

D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 则

设平面A1DE的法向量是

则，

取

点A到平面A1DE的距离是

.

（2）,

,

所以，CF∥平面A1DE.

（3）是面AA1D的法向量，

.