Question

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的值（O点为坐标原点）；

（3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值.

Answer

（1）     （2）            

   （3）

       当|AB最大时，的面积最大值  

【解析】（1）依题意得，所以.椭圆方程为

（2）直线方程与椭圆方程联立，保证，求出，利用，可得

（3）由原点O到直线的距离为得.直线方程与椭圆方程联立，保证，求出，利用，可得

利用不等式求出最值.注意的讨论.

【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意  解得

       由 2分

       所求椭圆方程为  3分

   （2）   设，其坐标满足方程

       消去并整理得   4分

       则有，      6分

                    8分

   （3）由已知，可得    9分

       将代入椭圆方程，

       整理得

        10分

        11分

          12分

       当且仅当，即时等号成立，经检验，满足（*）式

       当时，

综上可知               13分

       当|AB最大时，的面积最大值   14分