Question

已知数列满足,是的前项的和，并且.

（1）求数列的前项的和；

（2）证明：

Answer

(1) .（2）见解析.

【解析】（1）要求数列的前项的和，先求数列的通项，根据找到

，得数列是等差数列.由可求出；由等差数列的求和公式得；

（2）由（1）得

结合要证的不等式的特点，正左半部分时只取展开式的前两项；正右半部分时分析展开式中通项的特点进行放缩，然后转化为数列求和，即可得证.

(1) 由得，两式相减可得即

，则有，上两式相加得

即，所以数列是等差数列.

又因为，得，而，所以，所以数列前项的和为

.

（2）由（1）可得

因为且只有时等号成立.

所以

而=

因此