Question

设点是曲线上的动点，点到点（0，1）的距离和它到焦点的距离之和的最小值为.

（1）求曲线C的方程；

（2）若点的横坐标为1，过作斜率为的直线交于点，交轴于点，过点且与垂直的直线与交于另一点，问是否存在实数，使得直线与曲线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在实数使命题成立.

【解析】（1）利用抛物线的定义即可求出参数p，进一步求出抛物线的标准方程；（2）设出直线直线方程，然后和抛物线方程联立，再利用韦达定理和斜率关系列出关于斜率的等式，进一步求出斜率

【解析】
（Ⅰ）依题意知，解得.

所以曲线的方程为. ……………………………4分

（Ⅱ）由题意直线的方程为：，则点

联立方程组，消去得

得.…………………………………………………6分

所以得直线的方程为.

代入曲线，得.

解得.………………………………………………8分

所以直线的斜率……………10分

过点的切线的斜率.由题意有.

解得.故存在实数使命题成立.…………………12分